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2026年8月29日土曜日
2026年8月28日金曜日
三角関数の基礎から微分まで
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今回は、いきなり微分の公式を覚えるのではなく、
角度 → 三角形 → sin・cos・tan → 単位円 → θ → α → 微分
という順番で理解します。
角度 → 三角形 → sin・cos・tan → 単位円 → θ → α → 微分
という順番で理解します。
1. 三角関数とは？
三角関数とは、簡単にいうと、 角度が変わったとき、三角形の辺の割合がどう変わるか を表すものです。
●
|\
| \
| \
y | \ ← 斜辺
| \
| \
●------●
x
左下の角度を θ（シータ） とします。
2. 3つの辺
θを基準にすると、三角形の辺には3種類の名前があります。
| 名前 | 意味 |
|---|---|
| 対辺 | θの向かい側の辺 |
| 隣辺 | θのとなりにある辺 |
| 斜辺 | 直角の向かい側にある、一番長い辺 |
3. sin（サイン）
sinは、対辺と斜辺の割合 です。
sin θ = 対辺 ÷ 斜辺
つまり、
sin θ は「縦方向」 と考えると分かりやすい。
4. cos（コサイン）
cosは、隣辺と斜辺の割合 です。
cos θ = 隣辺 ÷ 斜辺
cos θ は「横方向」 と考えると分かりやすい。
5. tan（タンジェント）
tanは、対辺と隣辺の割合 です。
tan θ = 対辺 ÷ 隣辺
tan θ は「傾き」 と考えると分かりやすい。
3つをまとめる
| 関数 | イメージ | 公式 |
|---|---|---|
| sin θ | 縦 | 対辺 / 斜辺 |
| cos θ | 横 | 隣辺 / 斜辺 |
| tan θ | 傾き | 対辺 / 隣辺 |
6. 単位円
ここから、三角関数を理解するために 単位円 を使います。
単位円とは、
中心から円周までの距離が1の円
つまり、
中心から円周までの距離が1の円
つまり、
半径 = 1
●
／
／
／
／
O────────────→
7. θ（シータ）とは？
中心 O から円周上の点へ線を引きます。
その線と横軸との角度を θ とします。
●
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/ θ |
/ |
O───────┘
この θ は、
「中心から見た角度」
です。
8. 単位円では sin と cos が座標になる
半径が1なので、斜辺の長さは1です。
したがって、
sin θ = 縦 / 1 = 縦
cos θ = 横 / 1 = 横
つまり、円周上の点の座標は、
( cos θ , sin θ )
となります。
横方向 → cos θ
縦方向 → sin θ
縦方向 → sin θ
9. α（アルファ）とは？
ここで、前に見た図の α（アルファ） が登場します。
まず、円周上の2つの点を考えます。
A ●
\
\
\ α
● B────────
AとBを結んだ線と、Bから右へ伸びる横方向の線との角度が α です。
αは新しい三角関数ではありません。
αは「角度につけた名前」です。
αは「角度につけた名前」です。
つまり、
α = ある角度
10. αとθの関係
AとBをどんどん近づけていきます。
すると、A-Bを結ぶ線は、Bのところの接線に近づきます。
円では、
半径と接線は90°で交わる
半径と接線は90°で交わる
したがって、
α + θ = 90°
よって、
α = 90° − θ
となります。
すると sin α は？
三角関数の関係から、
sin α = sin(90° − θ)
そして、
sin(90° − θ) = cos θ
したがって、
sin α = cos θ
11. ここから微分につながる
円周上の点の高さを考えます。
y = sin θ
θを少しだけ増やすと、円周上の点が少し移動します。
そのときの高さの変化を Δy、角度の変化を Δθ とします。
A ●
|\
Δy | \
| \
| ● B
| /
| /
O────────
Δθ
変化の割合を考えると、
Δy / Δθ
となります。
さらに、
Δθ → 0
として、限りなく小さくすると、これが微分になります。
dy / dθ
そして α が関係する
AとBを限りなく近づけると、A-Bの線は接線になります。
その傾きに関係する角度が α です。
そして、
sin α = cos θ
なので、
d/dθ (sin θ) = cos θ
「sinを微分するとcosになる」
という公式は、円周上の点の動きと接線の角度から理解することができます。
という公式は、円周上の点の動きと接線の角度から理解することができます。
12. まとめ
① θ → 中心から見た角度
② sin θ → 縦方向
③ cos θ → 横方向
④ tan θ → 傾き
⑤ α → 接線側で考える角度
⑥ α + θ = 90°
⑦ sin α = cos θ
⑧ だから
d/dθ (sin θ) = cos θ
学習用まとめ・コピー
三角関数の基礎
sin θ = 縦方向
cos θ = 横方向
tan θ = 傾き
単位円では半径が1。
円周上の点の座標は
(cos θ, sin θ)
θは中心から見た角度。
αは円周上の点で考える接線側の角度。
円では半径と接線が90°なので、
α + θ = 90°
したがって、
α = 90° − θ
そして、
sin α = cos θ
θを少し変化させ、
そのときのyの変化率を考えると微分になる。
その結果、
d/dθ (sin θ) = cos θ
となる。
三角関数の基礎から微分まで
今回は、いきなり微分の公式を覚えるのではなく、
角度 → 三角形 → sin・cos・tan → 単位円 → θ → α → 微分
という順番で理解します。
角度 → 三角形 → sin・cos・tan → 単位円 → θ → α → 微分
という順番で理解します。
1. 三角関数とは？
三角関数とは、簡単にいうと、 角度が変わったとき、三角形の辺の割合がどう変わるか を表すものです。
●
|\
| \
| \
y | \ ← 斜辺
| \
| \
●------●
x
左下の角度を θ（シータ） とします。
2. 3つの辺
θを基準にすると、三角形の辺には3種類の名前があります。
| 名前 | 意味 |
|---|---|
| 対辺 | θの向かい側の辺 |
| 隣辺 | θのとなりにある辺 |
| 斜辺 | 直角の向かい側にある、一番長い辺 |
3. sin（サイン）
sinは、 対辺と斜辺の割合 です。
sin θ = 対辺 ÷ 斜辺
つまり、
sin θ は「縦方向」
と考えると分かりやすい。
4. cos（コサイン）
cosは、 隣辺と斜辺の割合 です。
cos θ = 隣辺 ÷ 斜辺
cos θ は「横方向」
と考えると分かりやすい。
5. tan（タンジェント）
tanは、 対辺と隣辺の割合 です。
tan θ = 対辺 ÷ 隣辺
tan θ は「傾き」
と考えると分かりやすい。
3つをまとめる
| 関数 | イメージ | 公式 |
|---|---|---|
| sin θ | 縦 | 対辺 / 斜辺 |
| cos θ | 横 | 隣辺 / 斜辺 |
| tan θ | 傾き | 対辺 / 隣辺 |
6. 単位円
ここから、三角関数を理解するために 単位円 を使います。
単位円とは、
中心から円周までの距離が1の円
つまり、
中心から円周までの距離が1の円
つまり、
半径 = 1
●
／
／
／
／
O────────────→
7. θ（シータ）とは？
中心 O から円周上の点へ線を引きます。
その線と横軸との角度を θ とします。
●
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/ θ |
/ |
O───────┘
この θ は、
「中心から見た角度」
です。
8. 単位円では sin と cos が座標になる
半径が1なので、斜辺の長さは1です。
したがって、
sin θ = 縦 / 1 = 縦
cos θ = 横 / 1 = 横
つまり、円周上の点の座標は、
( cos θ , sin θ )
となります。
横方向 → cos θ
縦方向 → sin θ
縦方向 → sin θ
9. α（アルファ）とは？
ここで、前に見た図の α（アルファ） が登場します。
まず、円周上の2つの点を考えます。
A ●
\
\
\ α
● B────────
AとBを結んだ線と、 Bから右へ伸びる横方向の線との角度が α です。
αは新しい三角関数ではありません。
αは「角度につけた名前」です。
αは「角度につけた名前」です。
つまり、
α = ある角度
10. αとθの関係
AとBをどんどん近づけていきます。
すると、A-Bを結ぶ線は、 Bのところの接線に近づきます。
円では、
半径と接線は90°で交わる
半径と接線は90°で交わる
したがって、
α + θ = 90°
よって、
α = 90° − θ
となります。
すると sin α は？
三角関数の関係から、
sin α = sin(90° − θ)
そして、
sin(90° − θ) = cos θ
したがって、
sin α = cos θ
11. ここから微分につながる
円周上の点の高さを考えます。
y = sin θ
θを少しだけ増やすと、 円周上の点が少し移動します。
そのときの高さの変化を Δy、 角度の変化を Δθ とします。
A ●
|\
Δy | \
| \
| ● B
| /
| /
O────────
Δθ
変化の割合を考えると、
Δy / Δθ
となります。
さらに、
Δθ → 0
として、限りなく小さくすると、 これが微分になります。
dy / dθ
そして α が関係する
AとBを限りなく近づけると、 A-Bの線は接線になります。
その傾きに関係する角度が α です。
そして、
sin α = cos θ
なので、
d/dθ (sin θ) = cos θ
「sinを微分するとcosになる」
という公式は、 円周上の点の動きと接線の角度から 理解することができます。
という公式は、 円周上の点の動きと接線の角度から 理解することができます。
12. まとめ
① θ → 中心から見た角度
② sin θ → 縦方向
③ cos θ → 横方向
④ tan θ → 傾き
⑤ α → 接線側で考える角度
⑥ α + θ = 90°
⑦ sin α = cos θ
⑧ だから
d/dθ (sin θ) = cos θ
学習用まとめ・コピー
三角関数の基礎
sin θ = 縦方向
cos θ = 横方向
tan θ = 傾き
単位円では半径が1。
円周上の点の座標は
(cos θ, sin θ)
θは中心から見た角度。
αは円周上の点で考える接線側の角度。
円では半径と接線が90°なので、
α + θ = 90°
したがって、
α = 90° − θ
そして、
sin α = cos θ
θを少し変化させ、
そのときのyの変化率を考えると微分になる。
その結果、
d/dθ (sin θ) = cos θ
となる。
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