arccos と arcsin ― 単位円で比較
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アークサインについて。
先ほど作ったHTMLをそのまま発展させて、
「arccos」と「arcsin」を同じ単位円上で
同時に操作できるHTMLにする。
arccos と arcsin ― 同じ単位円で比較
arccos と arcsin は、
どちらも「三角関数を逆向きに使って角度を求める」
ための関数です。
arccos
\[
x=\cos\theta
\]
\[
\theta=\arccos(x)
\]
x座標から角度を求めます。
主な答えの範囲：
\[
0^\circ\leq\theta\leq180^\circ
\]
arcsin
\[
y=\sin\theta
\]
\[
\theta=\arcsin(y)
\]
y座標から角度を求めます。
主な答えの範囲：
\[
-90^\circ\leq\theta\leq90^\circ
\]
まず単位円を見る
\[
\boxed{x^2+y^2=1}
\]
半径1の円では、
円周上の点を
\(P=(x,y)\)
とすると、
\[
\boxed{x=\cos\theta}
\qquad
\boxed{y=\sin\theta}
\]
となります。
したがって、
\[
\boxed{\theta=\arccos(x)}
\]
と
\[
\boxed{\theta=\arcsin(y)}
\]
を同じ円の上で比較できます。
arccos と arcsin を同時に操作する
\[
\boxed{x^2+y^2=1}
\]
arccos は x座標から角度を戻す
\[
x=\cos\theta
\]
この式を逆にすると、
\[
\boxed{\theta=\arccos(x)}
\]
例えば、
\[
x=0.5
\]
なら、
\[
\arccos(0.5)=60^\circ
\]
となります。
単位円では、
x座標を読む → arccos → 角度
という流れです。
arcsin は y座標から角度を戻す
\[
y=\sin\theta
\]
これを逆にすると、
\[
\boxed{\theta=\arcsin(y)}
\]
例えば、
\[
y=\frac{\sqrt3}{2}
\]
なら、
\[
\arcsin
\left(
\frac{\sqrt3}{2}
\right)
=
60^\circ
\]
となります。
単位円では、
y座標を読む → arcsin → 角度
という流れです。
arccos と arcsin の一番重要な違い
arccos
\[
\theta=\arccos(x)
\]
x座標を見る。
答えは
\[
0^\circ
\sim
180^\circ
\]
arcsin
\[
\theta=\arcsin(y)
\]
y座標を見る。
答えは
\[
-90^\circ
\sim
90^\circ
\]
なぜ同じ点でも結果が違うことがある？
例えば、
\[
\theta=120^\circ
\]
なら、
\[
x=\cos120^\circ=-\frac12
\]
\[
y=\sin120^\circ
=
\frac{\sqrt3}{2}
\]
ここで、
\[
\arccos
\left(-\frac12\right)
=
120^\circ
\]
ですが、
\[
\arcsin
\left(
\frac{\sqrt3}{2}
\right)
=
60^\circ
\]
となります。
これは arcsin が 120°を答えとして選ばないからです。
arcsin の主値の範囲は
\(-90^\circ\)〜\(90^\circ\)
だからです。
まとめ
\[
\boxed{x^2+y^2=1}
\]
\[
\boxed{x=\cos\theta}
\qquad
\boxed{y=\sin\theta}
\]
\[
\boxed{\theta=\arccos(x)}
\]
x座標から角度を戻す。
\[
\boxed{\theta=\arcsin(y)}
\]
y座標から角度を戻す。
単位円
│
┌─────────┴─────────┐
│ │
x = cosθ y = sinθ
│ │
↓ ↓
arccos arcsin
│ │
↓ ↓
θ θ
x² + y² = 1
このHTMLでは、単位円上の点を動かすことで、
cos → arccos と
sin → arcsin の関係を
同時に確認できます。
