2026年8月27日木曜日

アークコサイン（arccos）の説明

アークコサインと単位円の操作
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アークコサインについて　おしえて

AI：アークコサイン（arccos）について

アークコサイン（arccos）は、 cosの「逆向き」を考えると分かりやすい関数です。

1．cos は「角度 → 数値」

例えば、

\[ \cos60^\circ=\frac{1}{2} \]

これは、60°という角度を入れると、 cosが \(1/2\) を返すという意味です。

逆に、

\[ \arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60^\circ \]

となります。

つまり、 arccosは数値から角度を逆算する関数 です。

2．基本関係

\[ \cos\theta=x \]
↓ arccos を使う
\[ \theta=\arccos(x) \]

つまり、

cos：角度 → 数値

arccos：数値 → 角度

単位円 \(x^2+y^2=1\) を操作してみる

単位円は、

\[ \boxed{x^2+y^2=1} \]

という円です。 半径は1、中心は原点 \((0,0)\) です。

角度 \(\theta\) に対応する円周上の点は、

\[ \boxed{x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta} \]

となります。

60.0°
0.500
x座標
0.500
y座標
0.866
x² + y²
1.000000
arccos(x)
60.000°
\[ x^2+y^2 = \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1 \]

どの角度に点を動かしても、 x² + y² = 1 が成立することを確認できます。

3．xから角度を逆算する

今度は角度ではなく、 xの値を操作してみます。

xはcosθなので、

\[ x=\cos\theta \]

これを逆にすると、

\[ \boxed{\theta=\arccos(x)} \]

例えば x = 0.5 にすると、

\[ \arccos(0.5)=60^\circ \]

と表示されます。

上のスライダーで x = cos(θ) を動かして確認できます。

4．arccosの答えの範囲

cosは同じ値を何度も取ります。

例えば、

\[ \cos60^\circ=0.5 \]

だけでなく、

\[ \cos300^\circ=0.5 \]

でもあります。

そこでarccosでは、代表となる角度を 0°〜180°の範囲から選びます。

\[ \boxed{ 0^\circ\leq\arccos(x)\leq180^\circ } \]

5．arccosに入れられる数

cosの値は必ず、

\[ \boxed{-1\leq\cos\theta\leq1} \]

となります。

したがって実数のarccosでは、

\[ \boxed{-1\leq x\leq1} \]

です。

例えば、

\[ \arccos(2) \]

は、実数の角度としては存在しません。

6．代表的なarccos

x arccos(x)
1 \(0^\circ\)
\(\sqrt3/2\) \(30^\circ\)
\(\sqrt2/2\) \(45^\circ\)
\(1/2\) \(60^\circ\)
0 \(90^\circ\)
\(-1/2\) \(120^\circ\)
\(-\sqrt2/2\) \(135^\circ\)
\(-\sqrt3/2\) \(150^\circ\)
-1 \(180^\circ\)

7．まとめ

\[ \boxed{x^2+y^2=1} \]

単位円上では、

\[ \boxed{x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta} \]

そして、

\[ \boxed{\theta=\arccos(x)} \]

したがって、

角度 θ │ │ cos ↓ x = cos(θ) │ │ arccos ↓ 角度 θ

これが、 cosとarccosの基本的な関係 です。

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