2026年8月28日金曜日

三角関数の基礎から微分まで

三角関数の基礎から微分まで

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今回は、いきなり微分の公式を覚えるのではなく、
角度 → 三角形 → sin・cos・tan → 単位円 → θ → α → 微分
という順番で理解します。

1. 三角関数とは？

三角関数とは、簡単にいうと、 角度が変わったとき、三角形の辺の割合がどう変わるか を表すものです。 

        ●
        |\
        | \
        |  \
      y |   \  ← 斜辺
        |    \
        |     \
        ●------●
           x

左下の角度を θ（シータ） とします。

2. 3つの辺

θを基準にすると、三角形の辺には3種類の名前があります。

名前 意味
対辺 θの向かい側の辺
隣辺 θのとなりにある辺
斜辺 直角の向かい側にある、一番長い辺

3. sin（サイン）

sinは、対辺と斜辺の割合 です。

sin θ = 対辺 ÷ 斜辺

つまり、

sin θ は「縦方向」 と考えると分かりやすい。

4. cos（コサイン）

cosは、隣辺と斜辺の割合 です。

cos θ = 隣辺 ÷ 斜辺
cos θ は「横方向」 と考えると分かりやすい。

5. tan（タンジェント）

tanは、対辺と隣辺の割合 です。

tan θ = 対辺 ÷ 隣辺
tan θ は「傾き」 と考えると分かりやすい。

3つをまとめる

関数 イメージ 公式
sin θ 縦 対辺 / 斜辺
cos θ 横 隣辺 / 斜辺
tan θ 傾き 対辺 / 隣辺

6. 単位円

ここから、三角関数を理解するために 単位円 を使います。

単位円とは、

中心から円周までの距離が1の円

つまり、
半径 = 1
                 ●
              ／
           ／
        ／
     ／
   O────────────→

7. θ（シータ）とは？

中心 O から円周上の点へ線を引きます。

その線と横軸との角度を θ とします。

                 ●
                /|
               / |
              /  |
             /   |
            /    |
           / θ   |
          /      |
         O───────┘

この θ は、

「中心から見た角度」

です。

8. 単位円では sin と cos が座標になる

半径が1なので、斜辺の長さは1です。

したがって、

sin θ = 縦 / 1 = 縦
cos θ = 横 / 1 = 横

つまり、円周上の点の座標は、

( cos θ , sin θ )

となります。

横方向 → cos θ
縦方向 → sin θ

9. α（アルファ）とは？

ここで、前に見た図の α（アルファ） が登場します。

まず、円周上の2つの点を考えます。

             A ●
              \
               \
                \ α
                 ● B────────

AとBを結んだ線と、Bから右へ伸びる横方向の線との角度が α です。

αは新しい三角関数ではありません。

αは「角度につけた名前」です。

つまり、

α = ある角度

10. αとθの関係

AとBをどんどん近づけていきます。

すると、A-Bを結ぶ線は、Bのところの接線に近づきます。

円では、

半径と接線は90°で交わる

したがって、

α + θ = 90°

よって、

α = 90° − θ

となります。

すると sin α は？

三角関数の関係から、

sin α = sin(90° − θ)

そして、

sin(90° − θ) = cos θ

したがって、

sin α = cos θ

11. ここから微分につながる

円周上の点の高さを考えます。

y = sin θ

θを少しだけ増やすと、円周上の点が少し移動します。

そのときの高さの変化を Δy、角度の変化を Δθ とします。

             A ●
             |\
          Δy | \
             |  \
             |   ● B
             |  /
             | /
             O────────
                Δθ

変化の割合を考えると、

Δy / Δθ

となります。

さらに、

Δθ → 0

として、限りなく小さくすると、これが微分になります。

dy / dθ

そして α が関係する

AとBを限りなく近づけると、A-Bの線は接線になります。

その傾きに関係する角度が α です。

そして、

sin α = cos θ

なので、

d/dθ (sin θ) = cos θ
「sinを微分するとcosになる」

という公式は、円周上の点の動きと接線の角度から理解することができます。

12. まとめ

① θ → 中心から見た角度

② sin θ → 縦方向

③ cos θ → 横方向

④ tan θ → 傾き

⑤ α → 接線側で考える角度

⑥ α + θ = 90°

⑦ sin α = cos θ

⑧ だから

d/dθ (sin θ) = cos θ

学習用まとめ・コピー

三角関数の基礎 sin θ = 縦方向 cos θ = 横方向 tan θ = 傾き 単位円では半径が1。 円周上の点の座標は (cos θ, sin θ) θは中心から見た角度。 αは円周上の点で考える接線側の角度。 円では半径と接線が90°なので、 α + θ = 90° したがって、 α = 90° − θ そして、 sin α = cos θ θを少し変化させ、 そのときのyの変化率を考えると微分になる。 その結果、 d/dθ (sin θ) = cos θ となる。
三角関数 基礎学習
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