arccos・arcsin・arctan ― 操作できる単位円
22px
ユーザー
アークサインについて。
arccos と arcsin を同じ単位円上で
同時に操作できるHTMLにする。
さらにアークタンジェントも追加し、
操作できる単位円にする。
単位円の操作画面は16:9にする。
arccos・arcsin・arctan
― 同じ単位円で比較
3つの逆三角関数を、
同じ単位円上の点
\(P=(x,y)\)
から比較します。
単位円
\[
\boxed{x^2+y^2=1}
\]
単位円上の点を
\(P=(x,y)\)
とすると、
\[
\boxed{x=\cos\theta}
\qquad
\boxed{y=\sin\theta}
\]
\[
\boxed{
\tan\theta=\frac{y}{x}
}
\]
arccos
\[
\boxed{\theta=\arccos(x)}
\]
x座標から角度を求める。
\[
0^\circ\leq\theta\leq180^\circ
\]
arcsin
\[
\boxed{\theta=\arcsin(y)}
\]
y座標から角度を求める。
\[
-90^\circ\leq\theta\leq90^\circ
\]
arctan
\[
\boxed{
\theta=
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)
}
\]
y/xという
傾き
から角度を求める。
\[
-90^\circ<\theta<90^\circ
\]
3つの逆三角関数を
同じ単位円で操作
\[
\boxed{x^2+y^2=1}
\]
arctan は「傾き」から角度を求める
arccosは x、
arcsinは y を使います。
それに対してarctanは、
xとyの比率を使います。
\[
\tan\theta=\frac{y}{x}
\]
したがって逆にすると、
\[
\boxed{
\theta=
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)
}
\]
つまり、
\[
\boxed{
\text{傾き}
\rightarrow
\arctan
\rightarrow
\text{角度}
}
\]
arctan と atan2 の違い
単純な
\(\arctan(y/x)\)
では、xとyの符号による
象限
を完全には判定できません。
そこで実際のコンピューター計算では、
\[
\boxed{
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)
}
\]
を使うと、
点
\(P=(x,y)\)
が第1・第2・第3・第4象限の
どこにあるかを考慮して角度を求められます。
\[
\boxed{
\operatorname{atan2}(y,x)
}
\]
このHTMLでは、
arctan(y/x)
と
atan2(y,x)
を両方表示しています。
120°で比較してみる
θ = 120° にすると、
\[
x=\cos120^\circ=-\frac12
\]
\[
y=\sin120^\circ
=
\frac{\sqrt3}{2}
\]
arccosでは、
\[
\arccos\left(-\frac12\right)
=
120^\circ
\]
一方、arcsinでは、
\[
\arcsin
\left(
\frac{\sqrt3}{2}
\right)
=
60^\circ
\]
さらにarctanでは、
\[
\frac{y}{x}
=
-\sqrt3
\]
\[
\arctan(-\sqrt3)
=
-60^\circ
\]
ところが、
atan2(y,x)
なら第2象限を認識して、
\[
\operatorname{atan2}
\left(
\frac{\sqrt3}{2},
-\frac12
\right)
=
120^\circ
\]
となります。
まとめ
\[
\boxed{x^2+y^2=1}
\]
\[
x=\cos\theta
\qquad
y=\sin\theta
\qquad
\tan\theta=\frac{y}{x}
\]
\[
\boxed{
\arccos(x)
}
\]
→ x座標から角度
\[
\boxed{
\arcsin(y)
}
\]
→ y座標から角度
\[
\boxed{
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)
}
\]
→ 傾きから角度
\[
\boxed{
\operatorname{atan2}(y,x)
}
\]
→ 傾き＋象限から角度
\[
\boxed{
x^2+y^2=1
}
\]
↓
\[
x=\cos\theta,\quad
y=\sin\theta,\quad
\frac{y}{x}=\tan\theta
\]
↓
\[
\arccos,\quad
\arcsin,\quad
\arctan
\]
